高中數學必用的小技巧有哪些？

小墨老師 V管理員 /-01-24 11:09:40/26閱讀/0評論

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技巧名稱 具體說明 示例 簡化算式 當遇到復雜算式時，可以通過合并同類項、化簡分式、提取公因數等技巧來簡化計算過程，在計算多項式的加減法時，先合并同類項可以使表達式更簡潔；在進行分式運算時，將復雜的分式化簡為約分或通分的形式，可以更清晰地展現問題的本質。

如計算 (3x + 2x - 5) - (2x - 3x + 1)，先合并同類項得 x + 5x - 6。四則運算技巧 利用乘法分配律來簡化乘法運算，即 a(b + c) = ab + ac，還可以利用分式來簡化除法運算，a ÷ b = a/b。

如計算 23×99，可將其變形為 23×(100 - 1) = 23×100 - 23×1 = 2300 - 23 = 2277。

快速計算平方、立方 在高中數學中，經常需要計算平方、立方等運算，可以通過公式或特殊的計算方法來快速計算這些數值，利用公式 (a + b) = a + 2ab + b 或者 (a - b) = a - 2ab + b 來計算平方；利用公式 a = a×a×a 來計算立方。

如計算 101，可將其變形為 (100 + 1) = 100 + 2×100×1 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201。分數運算技巧 分數在高中數學中經常出現，我們可以通過通分、約分等技巧來簡化分數的運算，將分數化為小數可以方便進行近似計算；

將分數化為最簡形式可以減少計算過程中的出錯概率。如計算 \(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\)，先通分得 \(\frac{9}{12}+\frac{8}{12}=\frac{17}{12}\)。

方程解題技巧 在解方程時，可以利用逆運算、合并同類項、移項等方法來簡化解題過程，通過逆運算可以將原方程化簡為更容易求解的形式；通過合并同類項和移項可以將方程轉化為完全平方或二項式平方的形式，從而更容易解題。

如解方程 2x + 3 = 7，先移項得 2x = 7 - 3，再合并同類項得 2x = 4，最后系數化為 1 得 x = 2。

因式分解 這是解決多項式運算問題常見的技巧之一，常見的因式分解方法有提公因式法、公式法、十字相乘法等，通過因式分解，可以將多項式化簡為更簡單的形式，便于進一步的計算和分析。如分解因式 \(x^2 - 5x + 6\)，可將其分解為 \((x - 2)(x - 3)\)。

配方法 配方法是解決一些復雜的代數方程問題時常用的技巧之一，通過選擇適當的配方方法，可以將原方程化簡為更容易求解的形式。

如解方程 \(x^2 - 4x + 1 = 0\)，先配方得 \((x - 2)^2 - 3 = 0\)，再移項得 \((x - 2)^2 = 3\)，最后開方得 \(x - 2 = ±\sqrt{3}\)，\(x_1 = 2 + \sqrt{3}\)，\(x_2 = 2 - \sqrt{3}\)。

三角函數化簡 運用三角函數的基本關系、和差化積、積化和差等公式，可以化簡復雜的三角函數表達式，使其更易于理解和計算。如化簡 \(\sin^2α - \cos^2α\)，利用三角函數的基本關系可得 \(\sin^2α - \cos^2α = -\cos 2α\)。

特殊值法 在一些抽象或者難以理解的題目中，可以選擇最極端的數字來代替變量，幫助我們理解題目。

如判斷命題“對于任意實數 \(x\)，都有 \(x^2 + 4x + 5 > 0\)”的真假，可取 \(x = -2\)，代入得 \((-2)^2 + 4×(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 > 0\)，但還需進一步驗證其他情況，不過此方法可初步判斷該命題可能成立。

分類討論思想 根據不同的條件和情況，將問題分解為多個子問題，分別進行討論和解答，在壓軸題中，常常需要運用分類討論的思想來解決問題。

如求函數 \(y =x - 1\) 的最小值，需分 \(x \geq 1\) 和 \(x< 1\) 兩種情況討論，當 \(x \geq 1\) 時，\(y = x - 1\)，\(y \geq 0\)；

當 \(x< 1\) 時，\(y = 1 - x\)，\(y > 0\)，綜上可得，函數 \(y =x - 1\) 的最小值為 0。一題多解與優化 很多題目有多種解法，了解不同解法并選擇一個最優最簡單的解法，可以節省時間，對于一些較難的題目，可以從多個角度去思考，嘗試不同的解法。

如證明三角形內角和為 180°，可以用幾何法、剪拼法等多種方法證明，通過比較不同解法，能加深對知識的理解。

記憶常用數值 牢記一些常用數值，如 \(\ln 2\)、\(\ln 3\)、\(\ln 5\)、\(\sqrt{e}\)、11 到 20 的平方數、常見勾股數、15° 三角函數值等，有助于提高解題速度。

如在計算 \(\ln 10/9\) 的估計值時，若記住 \(\ln 2 \approx 0.693\)，\(\ln 3 \approx 1.099\)，\(\ln 5 \approx 1.609\)，則可快速得到 \(\ln 10/9 = \ln 10 - \ln 9 = \ln (2×5) - \ln (3^2) = \ln 2 + \ln 5 - 2\ln 3 \approx 0.693 + 1.609 - 2×1.099 = -0.994\)。

（圖片來源網絡，侵刪）