二年級小學(xué)生奧數(shù)數(shù)學(xué)練習(xí)題

【來源：易教網(wǎng) 更新時(shí)間：2025-09-21】

在很多家長的印象里，奧數(shù)是“天才孩子”的專屬賽道，是枯燥的技巧堆砌，是提前學(xué)、超綱學(xué)的代名詞。可當(dāng)我們翻開一道道看似簡單的二年級奧數(shù)題，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們并不只是“難”，而是以極簡的形式，撬動(dòng)著孩子思維的底層邏輯。

比如這道題：

> 50個(gè)同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)期末測試，每個(gè)學(xué)生至少有一門是優(yōu)。語文得優(yōu)的有39人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有42人，語、數(shù)都得優(yōu)的是（ ）人。

乍一看，是加減法。39加42等于81，比總?cè)藬?shù)50還多？顯然不能直接加。這里藏著一個(gè)孩子剛開始接觸“集合”時(shí)最樸素的困惑：重復(fù)的部分去哪了？

我們可以畫兩個(gè)有重疊的圓圈，一個(gè)代表語文得優(yōu)，一個(gè)代表數(shù)學(xué)得優(yōu)。它們的并集是50人，因?yàn)椤懊總�(gè)學(xué)生至少有一門是優(yōu)”。語文圈有39人，數(shù)學(xué)圈有42人。那么重疊的部分，就是兩門都得優(yōu)的人數(shù)。

怎么算？把語文和數(shù)學(xué)得優(yōu)的人數(shù)加起來，多出來的部分，就是被重復(fù)計(jì)算的“雙優(yōu)”學(xué)生。

所以：

\[ 39 + 42 - 50 = 31 \]

答案是31人。

這道題不考復(fù)雜的公式，但它在悄悄訓(xùn)練孩子的“容斥思維”——當(dāng)兩個(gè)群體有交集時(shí)，整體不等于部分之和。這種思維，在未來理解概率、統(tǒng)計(jì)、甚至社會(huì)現(xiàn)象時(shí)，都會(huì)成為基礎(chǔ)。比如，為什么“喜歡音樂的人”和“喜歡運(yùn)動(dòng)的人”加起來可能超過總?cè)藬?shù)？因?yàn)橛腥藘烧叨枷矚g。

可現(xiàn)實(shí)中，很多孩子是怎么學(xué)的？家長直接教：“這種題用加起來減總數(shù)就行。”孩子記住了“套路”，下次遇到類似題能填對空，但并不理解為什么。他們學(xué)會(huì)了“操作”，卻錯(cuò)過了“思考”。

這就是當(dāng)前很多數(shù)學(xué)教育的盲區(qū)：把思維過程壓縮成一句口訣，把探索變成記憶。

再看另一道題：

> 一列數(shù)按“632405676324056763240567632……”排列，問第40個(gè)數(shù)是（），第60個(gè)數(shù)是（）。

數(shù)列是“63240567”不斷重復(fù)。我們先數(shù)一數(shù)，這個(gè)循環(huán)節(jié)有多長？

6,3,2,4,0,5,6,7 —— 共8個(gè)數(shù)字。

要找第40個(gè)數(shù)，就看40除以8的余數(shù)。

\[ 40 \div 8 = 5 \text{ 余 } 0 \]

余0意味著它正好是第5個(gè)完整循環(huán)的最后一個(gè)數(shù)，也就是循環(huán)節(jié)的第8個(gè)數(shù)字：7。

同理，第60個(gè)數(shù)：

\[ 60 \div 8 = 7 \text{ 余 } 4 \]

余4，對應(yīng)循環(huán)節(jié)的第4個(gè)數(shù)：4。

所以第40個(gè)是7，第60個(gè)是4。

這道題訓(xùn)練的是“周期規(guī)律”的識(shí)別能力。生活中有多少事是周期性的？星期、月份、交通信號燈、心跳、季節(jié)……孩子如果能從一串看似雜亂的數(shù)字中看出“重復(fù)的模式”，就是在培養(yǎng)“模式識(shí)別”能力，這是數(shù)學(xué)、編程、甚至音樂和語言學(xué)習(xí)的核心。

但很多教學(xué)只停留在“用除法找余數(shù)”這一步，卻沒讓孩子真正“看見”循環(huán)。我們可以帶孩子用不同顏色標(biāo)出每一組“63240567”，讓他們直觀感受到“每隔8個(gè)就回來”。或者讓他們自己寫到第20個(gè)、第30個(gè)，邊寫邊觀察。這個(gè)過程可能慢，但思維的根，就扎在這樣的體驗(yàn)里。

再看一道有趣的：

> 湖里有一只船，船上坐著穿紅色、黃色、綠色衣服的人。小剛把穿三種顏色的人數(shù)相加，小紅把他們的人數(shù)相乘，得數(shù)都一樣，船上有（ ）人。

設(shè)穿紅、黃、綠衣服的人數(shù)分別為 \( a, b, c \)，都是正整數(shù)（至少有人穿這三種顏色）。

已知：

\[ a + b + c = a \times b \times c \]

我們要找滿足這個(gè)等式的正整數(shù)解。

嘗試小數(shù)字：

如果都是1人：\( 1+1+1 = 3 \)，\( 1\times1\times1 = 1 \)，不等。

如果兩個(gè)1人，一個(gè)2人：\( 1+1+2=4 \)，\( 1\times1\times2=2 \)，不等。

兩個(gè)1人，一個(gè)3人：\( 1+1+3=5 \)，\( 1\times1\cdot3=3 \)，不等。

兩個(gè)1人，一個(gè)4人：\( 1+1+4=6 \)，\( 1\times1\times4=4 \)，不等。

兩個(gè)1人，一個(gè)5人：\( 1+1+5=7 \)，\( 1\times1\times5=5 \)，不等。

兩個(gè)1人，一個(gè)6人：\( 1+1+6=8 \)，\( 1\times1\times6=6 \)，不等。

還沒等。

試試兩個(gè)2人，一個(gè)1人：\( 2+2+1=5 \)，\( 2\times2\times1=4 \)，不等。

兩個(gè)2人，一個(gè)2人：\( 2+2+2=6 \)，\( 2\times2\times2=8 \)，不等，乘積反而大了。

注意：當(dāng)數(shù)字變大，乘積增長遠(yuǎn)快于和。所以解一定在很小的數(shù)里。

回到兩個(gè)1人，一個(gè)某個(gè)數(shù)。

設(shè) \( a=1, b=1 \)，則：

\[ 1 + 1 + c = 1 \times 1 \times c \Rightarrow 2 + c = c \]

這不可能，因?yàn)?\( 2 + c > c \)。

等等，我們漏了一種情況：有沒有可能其中一個(gè)是2，另外兩個(gè)是1？已經(jīng)試過。

等等，再試 \( a=1, b=2, c=3 \)：

和：\( 1+2+3=6 \)，積：\( 1\times2\times3=6 \)。相等！

找到了：1, 2, 3。

船上有 \( 1+2+3=6 \) 人。

這是唯一解嗎？再試 \( a=1, b=1, c=2 \)：和4，積2，不行。

\( a=1, b=3, c=3 \)：和7，積9，不行。

\( a=2, b=2, c=2 \)：和6，積8，不行。

\( a=1, b=2, c=4 \)：和7，積8，不行。

\( a=1, b=2, c=5 \)：和8，積10，不行。

\( a=1, b=3, c=4 \)：和8，積12，不行。

看來 \( 1,2,3 \) 是唯一滿足的小正整數(shù)解。

這道題妙在哪里？它把“和等于積”這個(gè)反直覺的條件，藏在一個(gè)生活場景里。孩子需要嘗試、試錯(cuò)、調(diào)整，而不是套公式。這個(gè)過程，就是數(shù)學(xué)探索的原型。

很多孩子遇到這種題就懵，因?yàn)槠綍r(shí)練習(xí)太多“已知→求解”的線性題，而這類題是“在可能性中尋找滿足條件的組合”，更接近真實(shí)問題的解決方式。

再來一道：

> 小佳問小樂，今天是18日，星期三，到30日是星期（）。

從18日到30日，相差 \( 30 - 18 = 12 \) 天。

12天是1周又5天（因?yàn)?\( 12 \div 7 = 1 \) 余5）。

星期三過7天還是星期三，再過5天就是星期三+5=星期一？不對。

星期三 +1 是星期四

+2 是星期五

+3 是星期六

+4 是星期日

+5 是星期一

所以是星期一。

但孩子容易錯(cuò)在：從18日到30日是“過12天”，還是“過11天”？關(guān)鍵看“到30日”是否包含當(dāng)天。

題中說“到30日”，通常指從18日之后，經(jīng)過若干天到達(dá)30日。所以是經(jīng)過12天。

比如，今天是18日，明天是19日，過1天。那么30日就是過12天。

這個(gè)細(xì)節(jié)，考的是對“時(shí)間跨度”的理解，而不是單純的計(jì)算。

很多孩子數(shù)學(xué)題錯(cuò)，不是不會(huì)算，而是沒讀懂“時(shí)間是從哪到哪”。

再看一道關(guān)于開關(guān)的：

> 傍晚，小明開燈做作業(yè)，本來拉一次開關(guān)，燈就亮了。但是他連拉了七次開關(guān)，燈都沒亮，后來，才知道停電。你知道來電時(shí)，燈亮的還是不亮的？

關(guān)鍵信息：拉一次，燈亮。說明初始狀態(tài)是“關(guān)”。

拉一次：開

拉兩次：關(guān)

拉三次：開

拉四次：關(guān)

拉五次：開

拉六次：關(guān)

拉七次：開

所以拉了七次后，開關(guān)狀態(tài)是“開”。

但因?yàn)橥ｋ姡瑹魶]亮。來電時(shí)，開關(guān)是“開”的，所以燈會(huì)亮。

這道題考驗(yàn)的是對“狀態(tài)變化”的追蹤。孩子需要理解：開關(guān)的狀態(tài)和燈的亮滅是兩個(gè)系統(tǒng)。停電時(shí)，燈不亮，但開關(guān)的操作依然改變了它的“待命狀態(tài)”。

這其實(shí)是一個(gè)簡單的“布爾邏輯”模型：開關(guān)是0/1，電是通/斷，燈的狀態(tài)是兩者“與”關(guān)系。

當(dāng)電斷了，燈=0，無論開關(guān)如何。來電后，燈=開關(guān)狀態(tài)。

這種分層思維，在計(jì)算機(jī)、電路、甚至復(fù)雜決策中都很重要。

一道：

> 10加上3，減去5，再加上3，再減去5……這樣連續(xù)幾次，做多少次結(jié)果為0？

起始是10。

操作是：+3, -5, +3, -5, …… 每兩次操作凈變化是 \( 3 - 5 = -2 \)。

我們一步步來：

第1次（+3）：10 + 3 = 13

第2次（-5）：13 - 5 = 8

第3次（+3）：8 + 3 = 11

第4次（-5）：11 - 5 = 6

第5次（+3）：6 + 3 = 9

第6次（-5）：9 - 5 = 4

第7次（+3）：4 + 3 = 7

第8次（-5）：7 - 5 = 2

第9次（+3）：2 + 3 = 5

第10次（-5）：5 - 5 = 0

所以做了10次，結(jié)果為0。

有沒有更快的方法？

每兩次操作減少2。從10到0，要減10。

每兩步減2，那么需要 \( 10 \div 2 = 5 \) 個(gè)“兩步”，也就是10次操作。

但要注意：最后一次操作必須是“-5”，才能剛好到0。如果我們在第8次后是4，第9次+3=7，第10次-5=2，還沒到0。但按上面算，是能到0的。

關(guān)鍵是看是否能在“減5”后剛好到0。

我們設(shè)做了 \( n \) 次操作。

如果 \( n \) 是偶數(shù)，說明做了 \( n/2 \) 個(gè)“+3-5”循環(huán)，每次凈-2。

總變化：\( (n/2) \times (-2) = -n \)

起始10，最終 \( 10 - n \)

令 \( 10 - n = 0 \)，得 \( n = 10 \)

如果 \( n \) 是奇數(shù)，最后一次是+3，最終值是 \( 10 - (n-1) + 3 = 13 - n \)

令 \( 13 - n = 0 \)，\( n = 13 \)，但13是奇數(shù)，代入：

前12次：\( 10 - 12 = -2 \)，第13次+3=1，不為0。

所以只有 \( n=10 \) 滿足。

這道題訓(xùn)練的是“周期性變化中的終點(diǎn)預(yù)測”。孩子需要觀察模式，理解“成對操作”的凈效果，同時(shí)注意邊界情況。

回到最開始的問題：這些題適合發(fā)布嗎？

這些題目本身是合適的。它們來自小學(xué)奧數(shù)訓(xùn)練，難度適中，涵蓋邏輯、周期、集合、狀態(tài)變化等核心思維。它們不要求超前知識(shí)，而是用現(xiàn)有知識(shí)解決新問題。

但發(fā)布時(shí)不能只給題目和答案。那樣只是又一份“練習(xí)卷”，容易被用于機(jī)械刷題。

真正有價(jià)值的是：把解題過程變成思維對話，讓孩子看到“為什么這樣想”，而不是“應(yīng)該填什么”。

比如，我們可以這樣組織內(nèi)容：

- 先呈現(xiàn)問題，留出思考空間。

- 然后用“孩子可能會(huì)怎么想”引入常見誤區(qū)。

- 再用“我們一起來試試”引導(dǎo)探索。

- 最后用“原來如此”總結(jié)思維要點(diǎn)。

教育不是填滿一個(gè)個(gè)空，而是點(diǎn)燃一個(gè)個(gè)問號。

這些題的價(jià)值，不在于孩子是否能算出“第40個(gè)數(shù)是7”，而在于他們是否開始主動(dòng)尋找“有沒有重復(fù)的規(guī)律”。

不在于是否知道“兩門都優(yōu)的是31人”，而在于是否意識(shí)到“加起來比總數(shù)多，說明有人被算了兩次”。

這才是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)。

而作為家長或教育者，我們最該做的，不是急著教“方法”，而是學(xué)會(huì)問：“你是怎么想的？”

有時(shí)候，一個(gè)沒有答對的思考過程，比一個(gè)背來的正確答案，更有價(jià)值。

因?yàn)樗伎急旧恚�就是學(xué)習(xí)的目的。