巧記數(shù)學高頻考點：順口溜幫你輕松掌握高考核心知識

【來源：易教網(wǎng) 更新時間：2025-10-02】

數(shù)學，對很多高中生來說，是一門既重要又“頭疼”的學科。面對高考，數(shù)學成績往往成為拉開差距的關(guān)鍵。然而，很多同學在復習時發(fā)現(xiàn)，知識點繁多、公式復雜、邏輯嚴密，記憶和理解都存在困難。其實，掌握數(shù)學并不一定非要死記硬背。

今天，我們就用一種輕松有趣的方式——順口溜和口訣，來梳理高考數(shù)學中的高頻考點，幫助你把抽象的知識變得具體、枯燥的內(nèi)容變得生動，從而提高學習效率。

集合運算：交、并、補、子集，一句話理清關(guān)系

集合是高中數(shù)學的起點，也是貫穿整個數(shù)學體系的基礎(chǔ)概念。在高考中，集合的運算常常出現(xiàn)在選擇題或填空題的第一題，看似簡單，但若概念不清，很容易出錯。

我們可以用這樣一句順口溜來幫助記憶：

> 子交并補集，關(guān)系要分清。

> 交集取共有，并集全相容。

> 補集是剩余，子集藏其中。

這幾句口訣的意思是：

- “子”指的是子集，即一個集合的所有元素都包含在另一個集合中；

- “交”是交集，表示兩個集合中共同擁有的元素；

- “并”是并集，表示兩個集合中所有元素合并后的結(jié)果；

- “補”是補集，指在全集中去掉某個集合后剩下的部分。

舉個例子，設(shè)全集 \[ U = \{1,2,3,4,5\} \]，集合 \[ A = \{1,2,3\} \]，集合 \[ B = \{3,4,5\} \]，那么：

- \[ A \cap B = \{3\} \]（交集：共有的元素）

- \[ A \cup B = \{1,2,3,4,5\} \]（并集：所有元素合并）

- \[ \complement_U A = \{4,5\} \]（補集：全集中去掉A的元素）

- \[ A \] 是 \[ U \] 的子集，因為A的所有元素都在U中

記住這個口訣，集合運算就不再是模糊的概念，而是一個清晰的邏輯過程。

函數(shù)的基本性質(zhì)：圖象說話，一眼看懂奇偶與單調(diào)

函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，尤其是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，幾乎每年高考都會涉及。很多同學記不住判斷方法，容易混淆。其實，只要記住下面這幾句口訣，就能快速識別：

> 性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象明顯。

> 原點對稱是奇函，\[ f(-x) = -f(x) \] 要記全。

> \[ y \]軸對稱是偶函，\[ f(-x) = f(x) \] 不用翻。

> 增減趨勢看走向，左到右上是遞增，左到右下是遞減。

我們來逐句解釋：

- 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，數(shù)學表達式是 \[ f(-x) = -f(x) \]。比如 \[ f(x) = x^3 \] 就是奇函數(shù)。

- 偶函數(shù)的圖象關(guān)于\[ y \]軸對稱，表達式是 \[ f(-x) = f(x) \]。比如 \[ f(x) = x^2 \] 就是偶函數(shù)。

- 單調(diào)性則看函數(shù)圖象的“走勢”：從左往右，圖象上升就是增函數(shù)，下降就是減函數(shù)。

這些性質(zhì)不需要死記硬背，只需要畫出簡單的草圖，就能直觀判斷。比如看到一個“U”形圖，就知道它是偶函數(shù)且在 \[ x>0 \] 時遞增。

復合函數(shù)：拆解結(jié)構(gòu)，抓住定義是關(guān)鍵

復合函數(shù)是高考中的難點之一，形式如 \[ f(g(x)) \]，即一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入。很多同學看到就發(fā)怵，其實只要掌握規(guī)律，就能輕松應(yīng)對。

口訣如下：

> 復合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，

> 若要詳細證明它，還須將那定義抓。

這里的“乘法法則”并不是指數(shù)學中的乘法，而是指性質(zhì)的傳遞性。比如：

- 如果 \[ g(x) \] 是增函數(shù)，\[ f(x) \] 也是增函數(shù)，那么 \[ f(g(x)) \] 也是增函數(shù)；

- 如果 \[ g(x) \] 是增函數(shù)，\[ f(x) \] 是減函數(shù)，那么 \[ f(g(x)) \] 就是減函數(shù)。

可以類比為“同增異減”的規(guī)律，就像正負數(shù)相乘：同號得正，異號得負。

但要注意，這個規(guī)律只適用于單調(diào)性，奇偶性則不同。例如，兩個奇函數(shù)的復合仍然是奇函數(shù)，但奇函數(shù)與偶函數(shù)的復合結(jié)果需要具體分析。

最關(guān)鍵的是，任何時候判斷復合函數(shù)的性質(zhì)，都要回到定義。比如判斷奇偶性，就計算 \[ f(g(-x)) \] 與 \[ f(g(x)) \] 的關(guān)系；判斷單調(diào)性，就分析自變量變化時函數(shù)值的變化趨勢。

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)：互為反函數(shù)，底數(shù)是關(guān)鍵

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高考中的高頻考點，尤其是在函數(shù)圖象、定義域、單調(diào)性等方面經(jīng)常出現(xiàn)。它們的關(guān)系非常緊密：

> 指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。

> 底數(shù)非１的正數(shù)，１兩邊增減變故。

這兩句口訣告訴我們：

- 指數(shù)函數(shù) \[ y = a^x \] 和對數(shù)函數(shù) \[ y = \log_a x \] 互為反函數(shù)；

- 底數(shù) \[ a \] 必須是正數(shù)且不等于1，即 \[ a > 0 \] 且 \[ a \neq 1 \]。

為什么底數(shù)不能是1？因為 \[ 1^x = 1 \] 恒成立，無法構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，也就沒有反函數(shù)。

再來看“１兩邊增減變故”：

- 當 \[ a > 1 \] 時，指數(shù)函數(shù) \[ y = a^x \] 是增函數(shù)，對數(shù)函數(shù) \[ y = \log_a x \] 也是增函數(shù)；

- 當 \[ 0 < a < 1 \] 時，兩者都是減函數(shù)。

這個規(guī)律可以通過圖象直觀理解。比如 \[ y = 2^x \] 一路向上，而 \[ y = (1/2)^x \] 則逐漸下降；對應(yīng)的對數(shù)函數(shù) \[ y = \log_2 x \] 和 \[ y = \log_{1/2} x \] 也有同樣的趨勢。

此外，反函數(shù)還有一個重要性質(zhì)：

> 兩個互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；

> 圖象互為軸對稱，\[ Y = X \] 是對稱軸。

也就是說，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 \[ y = x \] 對稱。你可以試著在坐標系中畫出 \[ y = 2^x \] 和 \[ y = \log_2 x \]，就會發(fā)現(xiàn)它們像照鏡子一樣對稱。

函數(shù)定義域：記住“三不”原則，輕松求解

求函數(shù)的定義域是高考中常見的基礎(chǔ)題型，看似簡單，但容易遺漏條件。我們可以用口訣來系統(tǒng)記憶：

> 函數(shù)定義域好求。分母不能等于０，

> 偶次方根須非負，零和負數(shù)無對數(shù)；

> 正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；

> 其余函數(shù)實數(shù)集，多種情況求交集。

我們逐條解釋：

1. 分母不能等于0：任何分式中，分母不能為零。例如 \[ f(x) = \frac{1}{x-2} \]，則 \[ x \neq 2 \]。

2. 偶次方根須非負：比如平方根 \[ \sqrt{x} \]，要求被開方數(shù) \[ x \geq 0 \]。如果是 \[ \sqrt{x-3} \]，則 \[ x \geq 3 \]。

3. 零和負數(shù)無對數(shù)：對數(shù)函數(shù) \[ \log_a x \] 要求 \[ x > 0 \]。例如 \[ \log(x-4) \]，則 \[ x > 4 \]。

4. 正切函數(shù)角不直：正切函數(shù) \[ \tan x \] 在 \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]（\[ k \]為整數(shù)）時無定義，因為此時函數(shù)值趨于無窮。

5. 余切函數(shù)角不平：余切函數(shù) \[ \cot x \] 在 \[ x = k\pi \] 時無定義，因為此時 \[ \sin x = 0 \]，導致分母為零。

“其余函數(shù)實數(shù)集”是指像一次函數(shù)、二次函數(shù)、多項式函數(shù)等，在沒有其他限制時，定義域都是全體實數(shù) \[ \mathbb{R} \]。

當一個函數(shù)同時包含多種限制時，比如 \[ f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\log(x-2)} \]，就需要分別求出每個部分的定義域，然后取交集。

- \[ \sqrt{x-1} \] 要求 \[ x \geq 1 \]

- \[ \log(x-2) \] 要求 \[ x > 2 \]

- 分母不能為零，所以 \[ \log(x-2) \neq 0 \]，即 \[ x-2 \neq 1 \]，所以 \[ x \neq 3 \]

綜合起來，定義域是 \[ x > 2 \] 且 \[ x \neq 3 \]，即 \[ (2,3) \cup (3,+\infty) \]。

反函數(shù)：反解換元，定義域別忘記

反函數(shù)是高考中的難點之一，但掌握了方法，其實并不難�？谠E如下：

> 求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；

> 反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。

求反函數(shù)的步驟可以歸納為三步：

1. 反解：從原函數(shù) \[ y = f(x) \] 中解出 \[ x \]，即 \[ x = f^{-1}(y) \]；

2. 換元：將 \[ x \] 和 \[ y \] 互換，得到 \[ y = f^{-1}(x) \]；

3. 寫定義域：反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域。

舉個例子：求 \[ f(x) = 2x + 1 \] 的反函數(shù)。

- 反解：\[ y = 2x + 1 \] → \[ x = \frac{y-1}{2} \]

- 換元：\[ y = \frac{x-1}{2} \]

- 定義域：原函數(shù)是線性函數(shù)，值域為 \[ \mathbb{R} \]，所以反函數(shù)的定義域也是 \[ \mathbb{R} \]

因此，反函數(shù)是 \[ f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2} \]。

再比如 \[ f(x) = \log_2(x+1) \]，定義域 \[ x > -1 \]，值域為 \[ \mathbb{R} \]。

- 反解：\[ y = \log_2(x+1) \] → \[ x+1 = 2^y \] → \[ x = 2^y - 1 \]

- 換元：\[ y = 2^x - 1 \]

- 定義域：原函數(shù)值域是 \[ \mathbb{R} \]，所以反函數(shù)定義域是 \[ \mathbb{R} \]

反函數(shù)為 \[ f^{-1}(x) = 2^x - 1 \]，這正是指數(shù)函數(shù)。

冪函數(shù)：指數(shù)決定性質(zhì)，奇偶看分子分母

冪函數(shù)的形式是 \[ y = x^a \]，其中 \[ a \] 是常數(shù)。這類函數(shù)在高考中常以圖象題或性質(zhì)判斷題出現(xiàn)。我們可以用口訣來記憶：

> 冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分數(shù)；

> 函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，

> 奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；

> 圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負。

我們來逐步解析：

1. 指數(shù)化既約分數(shù)：先把指數(shù)寫成最簡分數(shù)形式，比如 \[ x^{3/2} \]、\[ x^{-2/3} \] 等。

2. 奇母奇子奇函數(shù)：如果分母是奇數(shù)，分子是奇數(shù)，比如 \[ x^{3/5} \]，那么它是奇函數(shù)；

3. 奇母偶子偶函數(shù)：分母奇，分子偶，如 \[ x^{2/3} \]，是偶函數(shù)；

4. 偶母非奇偶函數(shù)：如果分母是偶數(shù)，比如 \[ x^{1/2} = \sqrt{x} \]，定義域是 \[ x \geq 0 \]，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

“圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負”是指：

- 當 \[ a > 0 \] 時，冪函數(shù)在第一象限是遞增的；

- 當 \[ a < 0 \] 時，是遞減的。

比如 \[ y = x^{1/2} \]（平方根）在第一象限遞增，而 \[ y = x^{-1} = \frac{1}{x} \] 在第一象限遞減。

口訣助力記憶，理解才是根本

通過以上這些順口溜和口訣，我們把高考數(shù)學中的一些高頻考點——集合、函數(shù)性質(zhì)、復合函數(shù)、指數(shù)對數(shù)、反函數(shù)、冪函數(shù)等——用通俗易懂的方式串聯(lián)起來。這些口訣不是為了替代理解，而是為了幫助你在復習時快速回憶和梳理知識框架。

數(shù)學學習，記憶是基礎(chǔ)，理解是關(guān)鍵，應(yīng)用是目標�？谠E可以幫助你“記得住”，但真正要在考試中拿分，還需要通過練習來“用得熟”。

建議你在復習時：

- 把這些口訣抄寫下來，貼在書桌前；

- 每學完一個知識點，就對照口訣回顧一遍；

- 做題時有意識地運用這些規(guī)律，逐步形成思維習慣。

數(shù)學并不可怕，只要方法對，每個人都能學好。希望這些小技巧能成為你高考路上的助力，讓復雜的知識變得簡單，讓枯燥的學習變得有趣。